Родился 14 октября 1919 года в деревне Юрцево Колчановской волости (ныне — часть села Колчаново Волховского района Ленинградской области). Русский, член ВЛКСМ. В детстве переехал в посёлок Незаметный, впоследствии преобразованный в город Алдан Якутской АССР. После окончания 7 классов работал слесарем-монтажником на Якокутской электростанции на Алдане.

Призван в армию в апреле 1942 года Алданским райвоенкоматом. С весны 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в Курской битве и освобождении Украинской ССР. К августу 1944 года гвардии старший сержант Михаил Космачёв был младшим механиком-водителем танка «Т-34» 21-й гвардейской танковой бригады (5-го гвардейского танкового корпуса 6-й гвардейской танковой армии 2-го Украинского фронта). Отличился во время освобождения Румынии.

24-28 августа 1944 года экипаж Космачёва участвовал в боях за освобождение городов Бырлад, Фокшани и Бакэу, уничтожив 6 штурмовых орудий и большое количество солдат и офицеров противника. На своём танке Космачёв первым вышел к двухъярусному мосту через реку Сирет, уничтожил его охранение и артиллерийскую батарею противника, после чего удерживал мост до подхода основных сил.

13 декабря 1944 года Михаил Космачёв погиб в бою в районе населённого пункта Соколаш (ныне — Ипельски-Соколец на территории Словакии).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за «образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецкими захватчиками» гвардии старший сержант М.М. Космачёв посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Также посмертно был награждён орденом Ленина.

В честь Героя в г. Алдан названа улица.