Родился 9 августа 1913 года в г. Шадринск Курганской области, в семье рабочего. Русский, беспартийный. Образование начальное. В 1932 году приехал в Якутию, работал шахтером сначала в Аллах-Юне (ныне в Усть-Майском районе), потом в Кангалассах. Перед призывом трудился в Республиканской конторе связи. Призван в армию в августе 1941 года Якутским горвоенкоматом.

В запасном полку получил специальность сапера. С февраля 1943 года принимал участие в боях с немецко-фашистскими захватчиками, в составе 195-го отдельного саперного батальона 139-й стрелковой дивизии 50-й армии воевал на Западном, Белорусском и 2-м Белорусском фронтах. Освобождал Белоруссию, Польшу.

Рядовой Г.И. Шавкунов отличился 27 июня 1944 года при сооружении ночной переправы через Днепр. Шавкунов с группой сапёров устанавливал на реке опоры моста, насадки и прогоны. Работы велись под непрерывным артиллерийским и миномётным огнём. Вражеские снаряды то и дело разбивали бревна переправы, выводили из строя одного за другим товарищей. Когда взрывной волной от бомбы очередной пролёт моста сорвало с места и тяжелые бревна, развороченные бомбами, развернулись и поплыли вниз по течению, Шавкунов с подоспевшим товарищам сумел задержать их и скрепить. Мост через Днепр был возведён за 24 часа, и в 9 часов утра 28 июня по нему устремилась на запад военная техника. За эту операции трое сапёров, в том числе и Шавкунов, были представлены к присвоению звания Героя Советского Союза.

Г.И. Шавкунов погиб 23 августа 1944 года в бою за дер. Прушко – Велике Ломжинского уезда Белостокского воеводства Польской Народной Республики.

24 марта 1945 года Указом Президиума Верховного Совета СССР за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм Г.И. Шавкунову посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награжден орденом Ленина, медалями.

Именем Героя названа одна из улиц Якутска.