Родился 10 марта 1915 года в деревне Чинянино Самохваловской волости Тарского уезда Тобольской губернии, в семье крестьянина. Русский, член ВКП(б) с 1944 года. После окончания семи классов школы работал сначала в колхозе, затем на шахте. В 1936 – 1938 гг. служил в армии. Демобилизовавшись, в 1939 – 1941 гг. работал в органах НКВД на Алдане. В 1941 году Папышев повторно был призван в армию Алданским райвоенкоматом.

С августа 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. К январю 1945 года гвардии старшина Иван Папышев командовал разведвзводом 60-го гвардейского кавалерийского полка 16-й гвардейской кавалерийской дивизии 7-го гвардейского кавалерийского корпуса 69-й армии 1-го Белорусского фронта.

Отличился во время освобождения Польши. 17-18 января 1945 года Папышев проводил разведку в период боёв за освобождение Томашува, добыв важные для командования разведданные. Во время форсирования реки Варта взвод Папышева разгромил вражеские миномётные позиции, уничтожил 9 миномётных расчётов. Пройдя с боями от Вислы до Одера, взвод Папышева захватил более 20 складов с военным имуществом противника, взяв в плен 76 вражеских солдат и офицеров.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 года за «образцовое выполнение боевого задания командования в борьбе с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» гвардии старшина Иван Папышев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.

Входил в парадный расчёт, нёсший прибывшее в Москву из Берлина Знамя Победы. Участвовал в Параде Победы. В 1946 году Папышев был демобилизован. Проживал и работал в Москве. Умер 2 февраля 1999 года, похоронен на Котляковском кладбище Москвы.

Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Отечественной войны 1-й и 2-й степеней, Красной Звезды, медалями.